የ11ኛ ክፍል ሒሳብ ካርዶች ምን ይሸፍናሉ?

ከአገር አቀፉ መጽሐፍ 6 ምዕራፎች የተወሰዱ 28 ካርዶች፦ ሪሌሽኖች እና ፈንክሽኖች፣ ራሽናል ኤክስፕሬሽኖች እና ራሽናል ፈንክሽኖች፣ ማትሪክሶች፣ ዲተርሚናንቶች እና ባህሪያቸው፣ ቬክተሮች እና የፕሌን ትራንስፎርሜሽኖች። እያንዳንዱን ምዕራፍ በገጹ ላይ አንድ ካርድ በአንድ ጊዜ መውሰድ ይችላሉ።

በ11ኛ ክፍል አገር አቀፍ ፈተና አለ?

የለም። ኢትዮጵያ አገር አቀፍ ፈተና የምትሰጠው በ6ኛ፣ በ8ኛና በ12ኛ ክፍል ብቻ ነው። እነዚህ ካርዶች ለትምህርት ቤትዎ ፈተናዎች፣ እንዲሁም ከጥቂት ዓመታት በኋላ ለሚመጣው አገር አቀፍ ፈተና ናቸው።

እነዚህ ካርዶች ከየት መጡ?

ለዚህ ክፍል ከተዘጋጀው የትምህርት ሚኒስቴር መጽሐፍ፣ ከGrade 11 Mathematics ተቀድተዋል። ከዚያም ምዕራፉን ማየት የማይችል ሁለተኛ ማጣሪያ እያንዳንዱን ቀመር፣ ቋሚ ቁጥርና የሠንጠረዥ ረድፍ እንደገና ያሰላል፤ ማጣሪያው ማረጋገጥ ያልቻለውን ሁሉ ሳያወጣ ይይዘዋል።

ይህ ነጻ ነው?

አዎ። እዚህ ያለው እያንዳንዱ ካርድ በነጻ ይነበባል፤ ለኅትመት የተዘጋጀውም ሉህ በነጻ ይወርዳል። ሁለቱም መለያ አይጠይቁም።

ይህ ለመጨረሻ ጊዜ የተረጋገጠው መቼ ነው?

19 ኦክቶበር 2026። ካርዶች ምዕራፍ በምዕራፍ ይመጣሉ፤ ከእያንዳንዱ በታች ያለው መስመር ያ ካርድ ለመጨረሻ ጊዜ የተነበበበትን ቀን ይናገራል።

ነጻ አጭር ማስታወሻዎች እና የማጠናከሪያ ካርዶች

የ11ኛ ክፍል ሒሳብ

የ11ኛ ክፍል ሒሳብ በ Temari ላይ 28 የማጠናከሪያ ካርዶች አሉት፤ በአገር አቀፍ ሥርዓተ ትምህርቱ ምዕራፎች ተደራጅተዋል። እያንዳንዱ ካርድ ሕጉ መቼ እንደሚሠራ፣ በውስጡ ያለው እያንዳንዱ ምልክት ምን እንደሚወክልና ተማሪዎች በብዛት የሚሳሳቱበትን ነጥብ ይገልጻል። በነጻ ይነበባሉ፤ መለያም አይጠይቁም።

የ11ኛ ክፍል የሒሳብ መማሪያ መፅሐፍ በዚህ ገጽ ላይ በነጻ PDF አለ፦ የትምህርት ሚኒስቴር እትም፣ 494 ገጾች። ወደ ማውረጃው ይሂዱ

28
ካርዶች: 6
ምዕራፎች: 13
ቀመሮች: 8
የማጣቀሻ ሠንጠረዦች: Grade 11 Mathematics
መጽሐፍ: ነጻ
ዋጋ: 19 ኦክቶበር 2026
የመጨረሻ ማረጋገጫ

ሁሉም28ቀመር13የማጣቀሻ ሠንጠረዥ8ሕግ3የተለመደ ስህተት2ዘዴ2

ትምህርቱን በሙሉ የሚሸፍን

የኮምፕሌክስ ቁጥሮች ስሌትቀመር

(a+bi)(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i

(a+bi)(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i

$i$: ኢማጅነሪ ዩኒት። ስኩዌሩ ነጋቲቭ አንድ ነው፤ በዚህ ካርድ ላይ ያሉት የምልክት ለውጦች በሙሉ ከዚህ ይመነጫሉ።
$a, c$: ሪያል ክፍሎች፦ a የመጀመሪያው ቁጥር፣ c ደግሞ የሁለተኛው ነው።
$b, d$: ኢማጅነሪ ክፍሎች፤ ከ i ጋር የተቀመጡት ቁጥሮች ናቸው፦ b በመጀመሪያው፣ d በሁለተኛው ቁጥር።

ክንውን	ሕግ	ለምን እንደሚሠራ
መደመር	$(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i$	ሪያል ክፍሎች ከሪያል ክፍሎች፣ ኢማጅነሪ ክፍሎች ከኢማጅነሪ ክፍሎች ጋር ይደመራሉ።
መቀነስ	$(a+bi)-(c+di) = (a-c)+(b-d)i$	ሁለተኛውን ቅንፍ ክፍል በክፍል ይቀንሱ፤ ሁለቱንም ምልክቶች እንደያዙ ይቀጥሉ።
ማባዛት	$(a+bi)(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i$	የመቀነስ ምልክቱ የመጣው bd በ i ስኩዌር ተባዝቶ ወደ ነጋቲቭ ስለሚቀየር ነው።
በኮንጁጌት ማባዛት	$(a+bi)(a-bi) = a^2+b^2$	ኮንጁጌት ሪያሉን ክፍል እንደያዘ የኢማጅነሪውን ምልክት ይገለብጣል፤ ስለዚህ ብዜቱ ሁልጊዜ ሪያል ነው።
ሞጁለስ	$\|a+bi\| = \sqrt{a^2+b^2}$	ከመነሻ ነጥብ እስከ a እና b መጋጠሚያ ያለው ርቀት ነው።
ማካፈል	$\dfrac{a+bi}{c+di} = \dfrac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$	የላይኛውንና የታችኛውን በታችኛው ኮንጁጌት ያባዙ፤ ታችኛው ዜሮ መሆን የለበትም።
የነጋቲቭ ስኩዌር ሩት	$\sqrt{-a} = i\sqrt{a}$	a ዜሮ ወይም ፖዘቲቭ ሲሆን ይሠራል። ከማባዛትዎ በፊት ይቀይሩ።

መቼ እንደሚጠቀሙበት

ጥያቄው $a+bi$ በሚል ቅርጽ የቀረበ ቁጥር ወይም የነጋቲቭ ቁጥር ስኩዌር ሩት ሲይዝ ይህን ይጠቀሙ። መደመርን፣ መቀነስን፣ ማባዛትንና ማካፈልን፣ እንዲሁም ማካፈሉን ለመጨረስ የሚያስፈልጉትን ኮንጁጌትና ሞጁለስ ይሸፍናል።

ይጠንቀቁ

$i^2 = -1$ የሚለው ምልክት በብዜቱ የመጨረሻ ክፍል ውስጥ ተደብቆ ይቀራል። በ $(2+3i)(4+5i)$ ውስጥ ያ ክፍል $15i^2 = -15$ ነው፤ ስለዚህ መልሱ $23+22i$ ሳይሆን $-7+22i$ ነው። ተመሳሳዩ ስህተት ሁለት ቦታ ይደገማል። በማካፈል ውስጥ የሚያባዙበት ኮንጁጌት የታችኛው ቁጥር ነው፤ የላይኛውን ኮንጁጌት ቢወስዱ $i$ ከታች እንደተቀመጠ ይቀራል። ደግሞም ነጋቲቭ ስኩዌር ሩት ከማባዛትዎ በፊት ወደ $i$ ቅርጽ መቀየር አለበት፤ ምክንያቱም $\sqrt{-4} \cdot \sqrt{-9}$ ማለት $2i \cdot 3i = -6$ እንጂ $6$ አይደለም።

ሪሌሽኖች እና ፈንክሽኖች

የምዕራፍ 1 ገጽ ይክፈቱ

የአብሶሊዩት ቫልዩ ፈንክሽንቀመር

|a| = \begin{cases} a & \text{if } a > 0 \\ 0 & \text{if } a = 0 \\ -a & \text{if } a < 0 \end{cases}

|a| = \begin{cases} a & \text{if } a > 0 \\ 0 & \text{if } a = 0 \\ -a & \text{if } a < 0 \end{cases}

$a$: የሪል ቁጥር $dimensionless$
$|a|$: የ a አብሶሊዩት ቫልዩ $dimensionless$

መቼ እንደሚጠቀሙበት

የማንኛውንም ሪል ቁጥር አብሶሊዩት ቫልዩ ለማስላት ወይም በባሮቹ ውስጥ ያሉትን ለማቃለል ይህን ይጠቀሙ።

ይጠንቀቁ

የማንኛውም ሪል ቁጥር አብሶሊዩት ቫልዩ ሁልጊዜም ዜሮ ወይም አዎንታዊ ነው።

ከGrade 11 Mathematics፣ ገጽ 1-82 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

የግንኙነት Domain እና Rangeሕግ

መቼ እንደሚጠቀሙበት

በቅደም ተከተል ጥንዶች ስብስብ ከተሰጠ ግንኙነት Domain እና Range ለመለየት ይጠቀሙበት።

ይጠንቀቁ

Domain የመጀመሪያዎቹን መጋጠሚያዎች ብቻ የሚይዝ ሲሆን Range ደግሞ ሁለተኛዎቹን መጋጠሚያዎች ብቻ ይይዛል። በስብስቡ ውስጥ የተደገሙ አባላትን ደግመው አይጻፉ።

ከGrade 11 Mathematics፣ ገጽ 1-82 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

የቅደም ተከተል ጥንዶች እኩልነትየተለመደ ስህተት

መቼ እንደሚጠቀሙበት

ሁለት የቅደም ተከተል ጥንዶች እኩል መሆናቸውን ለማረጋገጥ ወይም ያልታወቁ መጋጠሚያዎችን ለማግኘት ይጠቀሙበት።

ይጠንቀቁ

በቅደም ተከተል ጥንድ (x, y) ውስጥ የቦታ ቅደም ተከተል ወሳኝ ነው። (x, y) ከ (y, x) ጋር እኩል የሚሆነው x እና y እኩል ሲሆኑ ብቻ ነው።

ከGrade 11 Mathematics፣ ገጽ 1-82 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

የተገላቢጦሽ ፈንክሽን ግራፍዘዴ

መቼ እንደሚጠቀሙበት

ከመጀመሪያው ፈንክሽን ግራፍ በመነሳት የተገላቢጦሽ ፈንክሽን ግራፍ ለመንደፍ ይጠቀሙበት።

ይጠንቀቁ

የ x እና y መጋጠሚያዎችን በመቀያየር ነጥቦቹን በ y = x መስመር ላይ ያንጸባርቁ።

ከGrade 11 Mathematics፣ ገጽ 1-82 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

የተገላቢጦሽ ፈንክሽን ማረጋገጫሕግ

መቼ እንደሚጠቀሙበት

ሁለት የተሰጡ ፈንክሽኖች f እና g የእርስ በእርስ ተገላቢጦሽ መሆናቸውን ለማረጋገጥ ይጠቀሙበት።

ይጠንቀቁ

ሁለቱንም ውህዶች ማረጋገጥ አለብዎት። አንዱን አቅጣጫ ብቻ ማሳየት በቂ አይደለም።

ከGrade 11 Mathematics፣ ገጽ 1-82 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

የተገላቢጦሽ ፈንክሽን ምልክት ስህተትየተለመደ ስህተት

መቼ እንደሚጠቀሙበት

የተገላቢጦሽ ፈንክሽን f^{-1}(x) ትርጉምን ለመረዳት ይጠቀሙበት።

ይጠንቀቁ

የተገላቢጦሽ ፈንክሽን f^{-1}(x) ከ -f(x) ወይም ከ 1/f(x) ጋር እኩል አይደለም።

ከGrade 11 Mathematics፣ ገጽ 1-82 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

አሉታዊ ራሽናል የፓወር ፈንክሽኖችየማጣቀሻ ሠንጠረዥf(x) = x^-1/n · f(x) = x^-m/n

ፈንክሽን	m	n	ዶሜን	ሬንጅ
$f(x) = x^{-1/n}$	$1$	even	$(0, \infty)$	$(0, \infty)$
$f(x) = x^{-1/n}$	$1$	odd	$\mathbb{R} \setminus \{0\}$	$\mathbb{R} \setminus \{0\}$
$f(x) = x^{-m/n}$	odd	even	$(0, \infty)$	$(0, \infty)$
$f(x) = x^{-m/n}$	even	odd	$\mathbb{R} \setminus \{0\}$	$(0, \infty)$

መቼ እንደሚጠቀሙበት

ይህን ሰንጠረዥ አሉታዊ ራሽናል አርቢ ላላቸው የፓወር ፈንክሽኖች ዶሜን እና ሬንጅ ለማወቅ ይጠቀሙበት።

ይጠንቀቁ

ዜሮ ለአሉታዊ ፓወር ፈንክሽኖች በዶሜን ውስጥ አይካተትም ምክንያቱም ለዜሮ ማካፈል አይቻልም።

ከGrade 11 Mathematics፣ ገጽ 1-82 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

አዎንታዊ ራሽናል የፓወር ፈንክሽኖችየማጣቀሻ ሠንጠረዥf(x) = x^1/n · f(x) = x^m/n

ፈንክሽን	m	n	ዶሜን	ሬንጅ
$f(x) = x^{1/n}$	$1$	even	$[0, \infty)$	$[0, \infty)$
$f(x) = x^{1/n}$	$1$	odd	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$
$f(x) = x^{m/n}$	odd	even	$[0, \infty)$	$[0, \infty)$
$f(x) = x^{m/n}$	even	odd	$\mathbb{R}$	$[0, \infty)$

መቼ እንደሚጠቀሙበት

ይህን ሰንጠረዥ አዎንታዊ ራሽናል አርቢ ላላቸው የፓወር ፈንክሽኖች ዶሜን እና ሬንጅ ለማግኘት ይጠቀሙበት።

ይጠንቀቁ

ታችኛው ክፍል n ኢቭን ሲሆን አሉታዊ ቁጥሮችን በዶሜን ውስጥ ማስገባት አይቻልም።

ከGrade 11 Mathematics፣ ገጽ 1-82 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

ራሽናል ኤክስፕሬሽኖች እና ራሽናል ፈንክሽኖች

የምዕራፍ 2 ገጽ ይክፈቱ

የራሽናል ፈንክሽኖች አሲምፕቶቶችየማጣቀሻ ሠንጠረዥdeg(p) < deg(q) · deg(p) = deg(q) · deg(p) = deg(q) + 1

የዲግሪ ሁኔታ	የአሲምፕቶት አይነት	የመስመር እኩልዮሽ
$\text{deg}(p) < \text{deg}(q)$	Horizontal asymptote	$y = 0$
$\text{deg}(p) = \text{deg}(q)$	Horizontal asymptote	$y = \frac{a_n}{b_n}$
$\text{deg}(p) = \text{deg}(q) + 1$	Oblique asymptote	$y = mx + b$ via polynomial division

መቼ እንደሚጠቀሙበት

የራሽናል ፈንክሽኖችን ግራፍ በሚስሉበት ወቅት አግድም ወይም ሰያፍ አሲምፕቶቶችን ለመለየት ይጠቀሙበት።

ይጠንቀቁ

ሰያፍ አሲምፕቶት የሚፈጠረው የላዕላይ ዲግሪ የታችኛውን ዲግሪ በአንድ ብቻ ሲበልጥ ነው።

ከGrade 11 Mathematics፣ ገጽ 83-130 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

የራሽናል ገላጮች ክዋኔዎችየማጣቀሻ ሠንጠረዥAddition · Subtraction · Multiplication · +1

ክዋኔ	ደንብ	ቅድመ ሁኔታ
Addition	$\frac{p(x)}{q(x)} + \frac{r(x)}{s(x)} = \frac{p(x)s(x) + r(x)q(x)}{q(x)s(x)}$	$q(x)$ and $s(x)$ are not zero
Subtraction	$\frac{p(x)}{q(x)} - \frac{r(x)}{s(x)} = \frac{p(x)s(x) - r(x)q(x)}{q(x)s(x)}$	$q(x)$ and $s(x)$ are not zero
Multiplication	$\frac{p(x)}{q(x)} \cdot \frac{r(x)}{s(x)} = \frac{p(x)r(x)}{q(x)s(x)}$	$q(x)$ and $s(x)$ are not zero
Division	$\frac{p(x)}{q(x)} \div \frac{r(x)}{s(x)} = \frac{p(x)s(x)}{q(x)r(x)}$	$q(x)$ , $s(x)$ , and $r(x)$ are not zero

መቼ እንደሚጠቀሙበት

የራሽናል ገላጮችን ድምር፣ ልዩነት፣ ብዜት እና ድርሻ ለማስላት እና ለማቃለል ይጠቀሙበት።

ይጠንቀቁ

በማካፈል ጊዜ የአካፋዩ ላዕላይ ቁጥር ወደ ታች ስለሚገለበጥ ዜሮ መሆን አይችልም።

ከGrade 11 Mathematics፣ ገጽ 83-130 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

የራሽናል መግለጫ ምንነትሕግ

መቼ እንደሚጠቀሙበት

አንድ የአልጀብራ መግለጫ ራሽናል መግለጫ መሆኑን ለመለየት ይጠቀሙበት።

ይጠንቀቁ

ላዩም ሆነ ታቹ ፖሊኖሚያል መሆን አለባቸው፤ እንዲሁም የታችኛው ክፍል ከዜሮ ፖሊኖሚያል የተለየ መሆን አለበት።

ከGrade 11 Mathematics፣ ገጽ 83-130 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

የሥራ ቀመርቀመር

W = r t

W = r t

$W$: የተከናወነ ሥራ $1$
$r$: ጥምር የሥራ ፍጥነት $\text{h}^{-1}$
$t$: የፈጀው ጊዜ $\text{h}$

መቼ እንደሚጠቀሙበት

ብዙ ሠራተኞች ወይም ቱቦዎች አንድን ሥራ በጋራ በተወሰነ ፍጥነት ሲያከናውኑ ይጠቀሙበት።

ይጠንቀቁ

በአንድ አሃድ ጊዜ የሚከናወኑ የሥራ ምጣኔዎችን ይደምሩ እንጂ የፈጁትን ጠቅላላ ጊዜ በቀጥታ አይደምሩ።

ከGrade 11 Mathematics፣ ገጽ 83-130 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

ማትሪክሶች

የምዕራፍ 3 ገጽ ይክፈቱ

መሰረታዊ የረድፍ ክንውኖችየማጣቀሻ ሠንጠረዥSwapping · Scaling · Pivoting

ክንውን	ሂደት
Swapping	የአንድን matrix ሁለት rows እርስ በእርስ ማቀያየር።
Scaling	የአንድን matrix row ዜሮ ባልሆነ constant ማባዛት።
Pivoting	የአንድን row constant ብዜት ከሌላ row ጋር መደመር።

መቼ እንደሚጠቀሙበት

ማትሪክስን ወደ ረድፍ እርከን ቅጽ ለመቀየር እነዚህን ሶስት ህጋዊ ክንውኖች ይጠቀሙ።

ከGrade 11 Mathematics፣ ገጽ 131-206 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

የማትሪክስ ብዜት ግልባጭቀመር

(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}

(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}

$A$: ተገልባጭ ካሬ ማትሪክስ A $dimensionless$
$B$: ተመሳሳይ መጠን ያለው ተገልባጭ ካሬ ማትሪክስ B $dimensionless$

መቼ እንደሚጠቀሙበት

የተባዙ ካሬ ማትሪክሶችን ግልባጭ ለማስላት ወይም ለመዘርዘር ይጠቀሙበት።

ይጠንቀቁ

የማትሪክሶቹ ቅደም ተከተል በግልባጩ ውስጥ ይገለበጣል። ቅደም ተከተሉን ሳይቀይሩ መዘርዘር የተለመደ ስህተት ነው።

ከGrade 11 Mathematics፣ ገጽ 131-206 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

ማትሪክስን በመሰረታዊ የረድፍ ክንውኖች መገልበጥዘዴ

መቼ እንደሚጠቀሙበት

የካሬ ማትሪክስ ግልባጭ ለማግኘት ወይም ማትሪክሱ ተገልባጭ መሆኑን ለማረጋገጥ ይጠቀሙበት።

ይጠንቀቁ

የተጨመረው ማትሪክስ በግራ በኩል ሙሉ በሙሉ ዜሮ የሆነ ረድፍ ካመጣ ማትሪክሱ ሲንጉላር ነው፣ ግልባጭም የለውም።

ከGrade 11 Mathematics፣ ገጽ 131-206 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

ልዩ የካሬ ማትሪክስ አይነቶችየማጣቀሻ ሠንጠረዥDiagonal · Scalar · Identity · +2

የማትሪክስ አይነት	መለያ ባህሪ
Diagonal	ከ main diagonal ውጭ ያሉ entries በሙሉ zero ናቸው።
Scalar	ሁሉም diagonal entries እኩል የሆኑበት diagonal matrix።
Identity	ሁሉም diagonal entries 1 የሆኑበት diagonal matrix።
Upper Triangular	ከ main diagonal በታች ያሉ entries በሙሉ zero ናቸው።
Lower Triangular	ከ main diagonal በላይ ያሉ entries በሙሉ zero ናቸው።

መቼ እንደሚጠቀሙበት

ካሬ ማትሪክሶችን በዋናው ዲያጎናል እና በዜሮ አቀማመጣቸው መሰረት ለመለየት ይጠቀሙበት።

ከGrade 11 Mathematics፣ ገጽ 131-206 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

ዲተርሚናንቶች እና ባህሪያቸው

የምዕራፍ 4 ገጽ ይክፈቱ

የሶስት ማዕዘን ስፋት በ xy-ጠለልቀመር

\text{Area} = \frac{1}{2} \left| \det \begin{pmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{pmatrix} \right|

\text{Area} = \frac{1}{2} \left| \det \begin{pmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{pmatrix} \right|

$\text{Area}$: የሶስት ማዕዘኑ ስፋት
$x_1, y_1$: የመጀመሪያው ነጥብ መጋጠሚያዎች
$x_2, y_2$: የሁለተኛው ነጥብ መጋጠሚያዎች
$x_3, y_3$: የሦስተኛው ነጥብ መጋጠሚያዎች

መቼ እንደሚጠቀሙበት

የሶስቱ ጫፎች መጋጠሚያዎች በተሰጡ ጊዜ የሶስት ማዕዘኑን ስፋት ለማስላት ይጠቀሙበት።

ይጠንቀቁ

የዲተርሚናንቱ ውጤት አሉታዊ ሊሆን ይችላል። ስፋቱ አዎንታዊ እንዲሆን ሁልጊዜ ፍፁም እሴቱን ይውሰዱ።

ከGrade 11 Mathematics፣ ገጽ 207-250 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

ባለአንድ መስመር ነጥቦች መፈተሻቀመር

\det \begin{pmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{pmatrix} = 0

\det \begin{pmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{pmatrix} = 0

$x_1, y_1$: የነጥብ A መጋጠሚያዎች
$x_2, y_2$: የነጥብ B መጋጠሚያዎች
$x_3, y_3$: የነጥብ C መጋጠሚያዎች

መቼ እንደሚጠቀሙበት

ሶስት ነጥቦች በአንድ ቀጥተኛ መስመር ላይ የሚገኙ መሆናቸውን ለማረጋገጥ ይጠቀሙበት።

ይጠንቀቁ

ይህንን ስፋት ከማስላት ጋር አያምታቱ። ነጥቦቹ በአንድ መስመር ላይ እንዲሆኑ ዲተርሚናንቱ የግድ ዜሮ መሆን አለበት።

ከGrade 11 Mathematics፣ ገጽ 207-250 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

የሁለት ነጥብ የመስመር እኩልታቀመር

\det \begin{pmatrix} x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \end{pmatrix} = 0

\det \begin{pmatrix} x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \end{pmatrix} = 0

$x, y$: በመስመሩ ላይ ያለ ማንኛውንም ነጥብ የሚወክሉ ተለዋዋጮች
$x_1, y_1$: የመጀመሪያው የታወቀ ነጥብ መጋጠሚያዎች
$x_2, y_2$: የሁለተኛው የታወቀ ነጥብ መጋጠሚያዎች

መቼ እንደሚጠቀሙበት

በሁለት የተለያዩ ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ ቀጥተኛ መስመር እኩልታን ለማግኘት ይጠቀሙበት።

ይጠንቀቁ

በመጀመሪያው ረድፍ ላይ ያሉትን x እና y እንደ ተለዋዋጭ ይተዉ። የቁጥር ዋጋዎችን በእነርሱ ቦታ አይተኩ።

ከGrade 11 Mathematics፣ ገጽ 207-250 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

የማትሪክስ ተገላቢጦሽ በአድጆይንትቀመር

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{Adj}(A)

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{Adj}(A)

$A^{-1}$: የስኩዌር ማትሪክስ A ተገላቢጦሽ
$\det(A)$: የማትሪክስ A ዲተርሚናንት, ዜሮ ያልሆነ
$\text{Adj}(A)$: አድጆይንት ማትሪክስ, የኮፋክተር ማትሪክስ ትራንስፖዝ

መቼ እንደሚጠቀሙበት

ተገላቢጦሽ ያለውን ማትሪክስ ኢንቨርስ በኮፋክተሮች እና ዲተርሚናንት ለማስላት ይጠቀሙበት።

ይጠንቀቁ

አድጆይንት ማትሪክስ የኮፋክተር ማትሪክስ ትራንስፖዝ ነው, ስለዚህ ረድፎች እና አምዶች መለዋወጥ አለባቸው።

ከGrade 11 Mathematics፣ ገጽ 207-250 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

ቬክተሮች

የምዕራፍ 5 ገጽ ይክፈቱ

ስካላር ብዜት እና ኦርቶጎናሊቲቀመር

\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos\theta = u_1 v_1 + u_2 v_2

\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos\theta = u_1 v_1 + u_2 v_2

$\mathbf{u}, \mathbf{v}$: የተሰጡ ቬክተሮች $dimensionless$
$|\mathbf{u}|, |\mathbf{v}|$: የቬክተሮቹ መጠን $dimensionless$
$\theta$: በሁለቱ ቬክተሮች መካከል ያለ አንግል $rad$
$u_1, u_2, v_1, v_2$: የቬክተሮቹ ስካላር ክፍሎች $dimensionless$

መቼ እንደሚጠቀሙበት

የዶት ብዜትን ለማስላት፣ በቬክተሮች መካከል ያለውን አንግል ለማግኘት፣ ወይም ቬክተሮቹ ቀጥተኛ መሆናቸውን ለማረጋገጥ ይጠቀሙበት።

ይጠንቀቁ

ሁለት ቬክተሮች እርስ በእርስ ቀጥተኛ የሚሆኑት ስካላር ብዜታቸው ዜሮ ሲሆን ብቻ ነው። ውጤቱ ስካላር እንጂ ቬክተር አይደለም።

ከGrade 11 Mathematics፣ ገጽ 251-312 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

ማዕከሉ መነሻ ነጥብ ለሆነ ክብ የታንጀንት መስመርቀመር

x x_1 + y y_1 = r^2

x x_1 + y y_1 = r^2

$x_1, y_1$: የመነካኪያ ነጥብ መጋጠሚያዎች $dimensionless$
$x, y$: በታንጀንት መስመሩ ላይ ያለ የማንኛውም ነጥብ መጋጠሚያዎች $dimensionless$
$r$: ማዕከሉ መነሻ ነጥብ የሆነ የክብ ራዲየስ $dimensionless$

መቼ እንደሚጠቀሙበት

የክቡ ማዕከል በመነሻ ነጥብ (0, 0) ላይ ሲሆን የታንጀንት መስመሩን ቀመር ለማግኘት ይጠቀሙበት።

ይጠንቀቁ

ይህ ቀመር የሚያገለግለው ማዕከሉ (0, 0) ላይ ሲሆን ብቻ ነው። ማዕከሉ ወደ ሌላ ቦታ ሲቀየር አጠቃላይ ቀመሩን ይጠቀሙ።

ከGrade 11 Mathematics፣ ገጽ 251-312 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

የክብ ታንጀንት መስመር ቀመርቀመር

(x - x_0)(x_1 - x_0) + (y - y_0)(y_1 - y_0) = r^2

(x - x_0)(x_1 - x_0) + (y - y_0)(y_1 - y_0) = r^2

$x_0, y_0$: የክቡ ማዕከል መጋጠሚያዎች $dimensionless$
$x_1, y_1$: የመነካኪያ ነጥብ መጋጠሚያዎች $dimensionless$
$x, y$: በታንጀንት መስመሩ ላይ ያለ የማንኛውም ነጥብ መጋጠሚያዎች $dimensionless$
$r$: የክቡ ራዲየስ $dimensionless$

መቼ እንደሚጠቀሙበት

ማዕከሉ (x_0, y_0) የሆነ ክብ በተሰጠ የመነካኪያ ነጥብ (x_1, y_1) ላይ የሚያልፈውን የታንጀንት መስመር ቀመር ለማግኘት ይጠቀሙበት።

ይጠንቀቁ

የመነካኪያ ነጥቡን በመስመሩ ተለዋዋጭ መጋጠሚያዎች ጋር አያምታቱ። በቀኝ በኩል ያለው r^2 እንጂ r አይደለም።

ከGrade 11 Mathematics፣ ገጽ 251-312 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

የፕሌን ትራንስፎርሜሽኖች

የምዕራፍ 6 ገጽ ይክፈቱ

በመስመር y = mx ላይ የሚደረግ ነጸብራቅቀመር

\begin{cases} x' = x\cos(2\theta) + y\sin(2\theta) \\ y' = x\sin(2\theta) - y\cos(2\theta) \end{cases}

\begin{cases} x' = x\cos(2\theta) + y\sin(2\theta) \\ y' = x\sin(2\theta) - y\cos(2\theta) \end{cases}

$x'$: የተንፀባረቀው ነጥብ x coordinate $dimensionless$
$y'$: የተንፀባረቀው ነጥብ y coordinate $dimensionless$
$x$: የመጀመሪያው ነጥብ x coordinate $dimensionless$
$y$: የመጀመሪያው ነጥብ y coordinate $dimensionless$
$\theta$: የመስመሩ ማዘንበል አንግል m = tan theta የሆነለት $\text{rad}$

መቼ እንደሚጠቀሙበት

ማናቸውንም ነጥብ (x, y) በመነሻ ነጥብ በሚያልፍ መስመር y = mx (ዳገቱ m = tan(theta) በሆነ) ላይ ሲንጸባረቅ ምስሉን ለማስላት ይጠቀሙ።

ይጠንቀቁ

ቀመሩ የሚጠቀመው 2 theta እንጂ theta ብቻ አይደለም።

ከGrade 11 Mathematics፣ ገጽ 313-354 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

በማናቸውም ነጥብ ዙሪያ የሚደረግ ሽክርክሪትቀመር

\begin{cases} x' = a + (x - a)\cos\theta - (y - b)\sin\theta \\ y' = b + (x - a)\sin\theta + (y - b)\cos\theta \end{cases}

\begin{cases} x' = a + (x - a)\cos\theta - (y - b)\sin\theta \\ y' = b + (x - a)\sin\theta + (y - b)\cos\theta \end{cases}

$x'$: የተሽከረከረው ነጥብ x coordinate $dimensionless$
$y'$: የተሽከረከረው ነጥብ y coordinate $dimensionless$
$x$: የመጀመሪያው ነጥብ x coordinate $dimensionless$
$y$: የመጀመሪያው ነጥብ y coordinate $dimensionless$
$a$: የማዞሪያው ማዕከል x coordinate $dimensionless$
$b$: የማዞሪያው ማዕከል y coordinate $dimensionless$
$\theta$: የማዞሪያ አንግል $\text{rad}$

መቼ እንደሚጠቀሙበት

አንድ ነጥብ በማናቸውም ማዕከል (a, b) ዙሪያ በዲግሪ አንግል በተቃራኒ የሰዓት አቅጣጫ ሲሽከረከር ምስሉን ለማግኘት ይህን ቀመር ይጠቀሙ።

ይጠንቀቁ

ትሪጎኖሜትሪ ከማስላትዎ በፊት የማዕከሉን መጋጠሚያዎች (a, b) መቀነስ እና በመጨረሻ መልሰው መደመርን አይርሱ።

ከGrade 11 Mathematics፣ ገጽ 313-354 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

በመነሻ ነጥብ ዙሪያ ያሉ ሽክርክሪቶችየማጣቀሻ ሠንጠረዥ90^° · 180^° · 270^° · +1

የማዞሪያ አንግል	የ(x, y) ምስል
$90^\circ$	$(-y, x)$
$180^\circ$	$(-x, -y)$
$270^\circ$	$(y, -x)$
$360^\circ$	$(x, y)$

መቼ እንደሚጠቀሙበት

በመነሻ ነጥብ (0, 0) ዙሪያ በተቃራኒ ሰዓት አቅጣጫ በመደበኛ ማዕዘናት የሚደረጉ ሽክርክሪቶችን በፍጥነት ለማስላት ይህንን ሰንጠረዥ ይጠቀሙ።

ይጠንቀቁ

በሰዓት አቅጣጫ የሚደረግ ሽክርክሪት ከተቃራኒ ሰዓት አቅጣጫ 360 ሲቀነስ ከተሰጠው አንግል ጋር እኩል ነው።

ከGrade 11 Mathematics፣ ገጽ 313-354 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

በጠለል ላይ ያሉ መደበኛ ነጸብራቆችየማጣቀሻ ሠንጠረዥx axis (y = 0) · y axis (x = 0) · y = x · +1

የአንፀባራቂው መስመር	የ(x, y) ምስል
$x\text{ axis } (y = 0)$	$(x, -y)$
$y\text{ axis } (x = 0)$	$(-x, y)$
$y = x$	$(y, x)$
$y = -x$	$(-y, -x)$

መቼ እንደሚጠቀሙበት

አንድ ነጥብ በተለመዱት ዘንጎች እና ሰያፍ መስመሮች ላይ ሲንጸባረቅ መጋጠሚያዎቹን ለማግኘት ይህን ሰንጠረዥ ይጠቀሙ።

ይጠንቀቁ

በመስመር y = -x ላይ ማመንጨት ቦታዎችን ይቀያይራል እንዲሁም ሁለቱንም ወደ አሉታዊ ይለውጣል፡ በ y = x ላይ ግን ቦታ መቀያየር ብቻ ነው።

ከGrade 11 Mathematics፣ ገጽ 313-354 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

የ11ኛ ክፍል የሒሳብ መማሪያ መጽሐፍ

የአዲሱ ሥርዓተ ትምህርት የተማሪ መማሪያ መጽሐፍ፣ በነጻ PDF። በዚህ ገጽ ላይ ያሉት ካርዶች ምዕራፎቹን ይከተላሉ።

የትምህርት ሚኒስቴር እትም, እንግሊዝኛ
494 ገጾች
PDF ያውርዱ

መጽሐፉ የሚሸፍናቸው ምዕራፎች

1.Relations and Functions
2.Rational Expressions and Rational Functions
3.Matrices
4.Determinants and Their Properties
5.Vectors
6.Transformations of the Plane
7.Statistics
8.Probability

ተመሳሳይ ትምህርት በሌሎች ክፍሎች

ፈተና ካለፈው ክፍል የተማሩትን መጠየቁን አያቆምም። የእነዚያ ክፍሎች ካርዶችም እዚህ አሉ።

የ11ኛ ክፍል ሌሎች ትምህርቶችዎ

በዚህ ክፍል እስካሁን ካርድ ያላቸው ሌሎች ትምህርቶች በሙሉ።

ተማሪዎች የሚጠይቋቸው ጥያቄዎች

የ11ኛ ክፍል ሒሳብ ካርዶች ምን ይሸፍናሉ?: ከአገር አቀፉ መጽሐፍ 6 ምዕራፎች የተወሰዱ 28 ካርዶች፦ ሪሌሽኖች እና ፈንክሽኖች፣ ራሽናል ኤክስፕሬሽኖች እና ራሽናል ፈንክሽኖች፣ ማትሪክሶች፣ ዲተርሚናንቶች እና ባህሪያቸው፣ ቬክተሮች እና የፕሌን ትራንስፎርሜሽኖች። እያንዳንዱን ምዕራፍ በገጹ ላይ አንድ ካርድ በአንድ ጊዜ መውሰድ ይችላሉ።
በ11ኛ ክፍል አገር አቀፍ ፈተና አለ?: የለም። ኢትዮጵያ አገር አቀፍ ፈተና የምትሰጠው በ6ኛ፣ በ8ኛና በ12ኛ ክፍል ብቻ ነው። እነዚህ ካርዶች ለትምህርት ቤትዎ ፈተናዎች፣ እንዲሁም ከጥቂት ዓመታት በኋላ ለሚመጣው አገር አቀፍ ፈተና ናቸው።
እነዚህ ካርዶች ከየት መጡ?: ለዚህ ክፍል ከተዘጋጀው የትምህርት ሚኒስቴር መጽሐፍ፣ ከGrade 11 Mathematics ተቀድተዋል። ከዚያም ምዕራፉን ማየት የማይችል ሁለተኛ ማጣሪያ እያንዳንዱን ቀመር፣ ቋሚ ቁጥርና የሠንጠረዥ ረድፍ እንደገና ያሰላል፤ ማጣሪያው ማረጋገጥ ያልቻለውን ሁሉ ሳያወጣ ይይዘዋል።
ይህ ነጻ ነው?: አዎ። እዚህ ያለው እያንዳንዱ ካርድ በነጻ ይነበባል፤ ለኅትመት የተዘጋጀውም ሉህ በነጻ ይወርዳል። ሁለቱም መለያ አይጠይቁም።
ይህ ለመጨረሻ ጊዜ የተረጋገጠው መቼ ነው?: 19 ኦክቶበር 2026። ካርዶች ምዕራፍ በምዕራፍ ይመጣሉ፤ ከእያንዳንዱ በታች ያለው መስመር ያ ካርድ ለመጨረሻ ጊዜ የተነበበበትን ቀን ይናገራል።

ያጥኑ፣ ከዚያም ራስዎን ይፈትኑ

Temari እነዚህን ካርዶች ወደ መልመጃ ጥያቄዎች ይለውጣቸዋል፣ እየሠሩ ያርማቸዋል፤ ያልገባዎትንም የሚያብራራ የAI አስተማሪ አለ።

በነጻ ይጀምሩ

Temari.et ለ Android ስልኮች መተግበሪያ አለው፤ በ Google Play ላይ በነጻ ይገኛል።

ስለ Temari መተግበሪያ